一、概率最大值最小值公式
M= max(X,Y)及 N= min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y).求 M= max(X, Y)及N= min(X, Y)的分布函数.
分析：由于“M= max(X,Y)≤ z”等价于“X≤z, Y≤z”，故有
P(M≤z)= P(X≤z, Y≤z).
再由X和Y相互独立，得到 M= max(X,Y)的分布函数为:
FM(z)=P(M≤z)= P(X≤z, Y≤z)
= P(X≤z) P(Y≤z).
即 FM(z)= FX(z) FY(z).
类似地，可得 N= min(X,Y)的分布函数
FN(z)= P(N≤z)= 1-P(N>z)
= 1-P(X>z, Y>z)
= 1- P(X>z) P(Y>z).
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
= FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).
如图所示,系统L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接而成,联接方式分别为:
(1)串联；
(2)并联；
(3)备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时, L2开始工作).
设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为:
其中a>0, b>0,且a≠b为常数.分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z的概率密度.
解：先求X, Y的分布函数
二、如何求函数的最大值与最小值
求函数的最大值与最小值的方法：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。
一般而言，可以把函数化简，化简成为：
f(x)=k(ax+b)²+c的形式，在x的定义域内取值。
当k>0时，k(ax+b)²≥0，f(x)有极小值c。
当k<0时，k(ax+b)²≤0，f(x)有最大值c。
关于对函数最大值和最小值定义的理解：
这个函数的定义域是【I】
这个函数的值域是【不超过M的所有实数的（集合）】
而恰好（至少有）某个数x0，
这个数x0的函数值f(x0)=M，
也就是恰好达到了值域（区间）的右边界。
同时,再没有其它的任何数的函数值超过这个区间的右边界。
所以,我们就把这个M称为函数的最大值。
扩展资料：
常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性,再求最值。
4、利用均值不等式,形如的函数,及,注意正,定,等的应用条件,即: a, b均为正数,是定值, a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值。
参考资料来源：百度百科-函数最值
三、求函数y***fx的极值的步骤
求函数 y= f(x)的极值一般可以按照以下步骤进行：
求导：首先，计算函数 f(x)的导数 f'(x)。这一步可以通过微分法或求导法则进行。
找到导数为零的点：解方程 f'(x)= 0，找到使得导数等于零的点，这些点称为临界点。
求二阶导数：计算函数 f(x)的二阶导数 f''(x)。这一步是为了确定临界点处的极值类型。
分析极值类型：根据二阶导数的符号来判断临界点处的极值类型。如果 f''(x)> 0，说明是局部最小值；如果 f''(x)< 0，说明是局部最大值；如果 f''(x)= 0，需要进行进一步的分析。
检查边界点：检查函数的定义域边界上的点是否存在极值。
通过以上步骤，可以找到函数 y= f(x)的极值点及其类型。需要注意的是，这只是一种常用的方法，对于一些特殊的函数或情况，可能需要使用其他的方法来求解极值。
